Démonstration : fonction dérivée d’un produit

Théorème

Si $f$ et $g$ sont dérivables en $x$, alors $(f times g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

Preuve

[
frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = lim{hto 0}frac{f(x+h)g(x+h) – f(x)g(x)}{h}
]
Ajoutons et retranchons $f(x)g(x+h)$ :
[
= lim{h to 0} frac{[f(x+h)g(x+h) – f(x)g(x+h)] + [f(x)g(x+h) – f(x)g(x)]}{h}
]
= lim_{h to 0} [frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h) + f(x)frac{g(x+h)-g(x)}{h}]

Quand $hto 0$ : $g(x+h)to g(x)$ et $frac{f(x+h)-f(x)}{h} to f'(x)$, etc.
[
= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
]

Exemple :

Pour $f(x)=x^2$, $g(x)=x^3$, $(x^2x^3)’=2xtimes x^3 + x^2times 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4$