1. Les connecteurs logiques de base : « et », « ou »
- « Et » (conjonction) : L’affirmation « A et B » est vraie seulement si A est vraie ET B est vraie. Exemple : « Un nombre est pair et positif » : il doit satisfaire les deux propriétés.
- « Ou » (disjonction) : L’affirmation « A ou B » est vraie si au moins une des deux affirmations A ou B est vraie. En mathématiques, « ou » est en général inclusif.
Exemple :
- « Un nombre est divisible par 2 ou par 3. » Cela signifie qu’il peut être divisible par l’un, l’autre ou les deux.
2. Réplication, contraposée, réciproque
- Réciproque : Si on a une implication « Si A alors B », la réciproque est « Si B alors A ».
- Exemple : Si un nombre est multiple de 6, alors il est pair. La réciproque : Si un nombre est pair, alors il est multiple de 6 ? (Faux : 4 est pair, mais pas multiple de 6)
- Contraposée : La contraposée de « Si A alors B » est « Si non B alors non A ». Une implication et sa contraposée sont toujours logiquement équivalentes.
3. Conditions nécessaires et suffisantes
- Condition suffisante : Si A implique B, alors A est une condition suffisante pour B. Exemple : Être un carré est suffisant pour être un rectangle.
- Condition nécessaire : Si A implique B, alors B est une condition nécessaire pour A. Exemple : Être rectangle est nécessaire pour être un carré.
- Équivalence logique : Si « Si A alors B » et « Si B alors A » sont vraies, on dit que A et B sont équivalentes (A ⇔ B).
Exemple :
- « Un nombre est impair si et seulement si il n’est pas pair » : les deux propriétés sont alors équivalentes.
Schéma récapitulatif
- A ⇒ B : A condition suffisante de B ; B condition nécessaire à A
- A ⇔ B : A et B équivalents
- Réciproque de A ⇒ B : B ⇒ A
Exemple d’application
Si x > 2 alors x^2 > 4.
- Réciproque : Si x^2 > 4 alors x > 2 ? (Faux : x = -3 : x^2 = 9 > 4, mais x < 2)
- Contraposée : Si x^2 ≤ 4 alors x ≤ 2. (Vérifier la véracité)
Ce vocabulaire est essentiel pour comprendre, rédiger et démontrer en mathématiques.