1. Définition d’une suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite numérique dans laquelle chaque terme s’obtient en ajoutant un même nombre, appelé raison, au terme précédent.
Formellement, une suite ( (un) ) est arithmétique s’il existe un réel ( r ) (la raison) tel que :
[
u{n+1} = u_n + r]
2. Expression des termes
a) Forme de récurrence
- On connaît le premier terme ( u_0 ) (ou éventuellement ( u_1 )), et la raison ( r ).
- Chaque terme s’obtient à partir du précédent : ( u_{n+1} = u_n + r ).
b) Forme explicite
- On peut calculer directement le terme de rang n :
[
u_n = u_0 + n times r]
3. Exemples
- Suite : 4, 7, 10, 13, 16, … ( (u_n = 4 + 3n) ) avec raison ( r = 3 ).
- Evolution d’un compte bancaire sur lequel on dépose une même somme chaque mois.
4. Représentation graphique
- Les points représentant la suite arithmétique sont alignés sur une droite (car la variation entre deux points consécutifs est constante).
5. Interprétation et applications
- Les suites arithmétiques modélisent une croissance ou décroissance linéaire : le phénomène évolue toujours du même « pas ».
- Applications : remboursements réguliers, intérêts simples, calendrier, progression salariale, etc.