Démonstration : calcul du terme général d’une suite arithmétique, d’une suite géométrique

Calcul du terme général d’une suite arithmétique

On veut montrer que u_n = u₀ + n·r.

Démonstration (par récurrence ou calcul direct) :

• u₀ donné
• u₁ = u₀ + r
• u₂ = u₁ + r = u₀ + r + r = u₀ + 2r
• etc.
  Donc, par induction,
  u_n = u₀ + n × r

Calcul du terme général d’une suite géométrique

On veut montrer que u_n = u₀ × qⁿ.

Démonstration :

• u₀ donné
• u₁ = u₀ × q
• u₂ = u₁ × q = u₀ × q × q = u₀ × q²
• …
  Donc, par induction,
  u_n = u₀ × qⁿ

Exemple :
Si u₀ = 5 et r = 2, alors u₃ = 5 + 3 × 2 = 11 (arithmétique).
Si u₀ = 4 et q = 3, alors u₂ = 4 × 3² = 36 (géométrique).