La méthode de Newton est un algorithme numérique utile pour approcher une solution d’une équation f(x) = 0, c’est-à-dire pour trouver une racine d’une fonction.
Principe :
On part d’une valeur initiale x₀ et on construit une suite (xₙ) par récurrence selon la formule :
xₙ₊₁ = xₙ – f(xₙ)/f ‘(xₙ)
À chaque étape, la valeur xₙ₊₁ est l’abscisse du point où la tangente à la courbe de f au point (xₙ, f(xₙ)) coupe l’axe des abscisses.
Étapes de l’algorithme :
- Choisir une valeur initiale x₀
- Calculer xn+1 = xn – f(xn)/f ‘(xn)
- Répéter jusqu’à ce que la valeur obtenue soit suffisamment proche de la racine recherchée (c’est-à-dire que f(xn) soit proche de 0, selon la précision désirée)
Exemple :
Trouver une racine de f(x) = x^2 – 2
- f(x) = x^2 – 2, f ‘(x) = 2x
- x₀ = 1, puis x₁ = 1 – (1^2 – 2)/(2 × 1) = 1 + 0.5 = 1.5
- x₂ = 1.5 – ((1.5^2 – 2)/(2 × 1.5)) ≈ 1.4167
- On continue jusqu’à obtenir la précision voulue (on s’approche de √2)
La méthode de Newton est rapide et largement utilisée pour résoudre numériquement les équations quand la dérivée est connue.