1. Qu’est-ce qu’une suite numérique ?
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, appelée les termes de la suite, dont chacun est repéré par un nombre entier naturel appelé rang.
Plus formellement, une suite est une application qui, à tout entier naturel n, associe un nombre réel noté généralement ( u(n) ) ou ( u_n ).
Exemple :
- La suite des nombres pairs : 0, 2, 4, 6, 8, … Ici, ( u(n) = 2n ).
- La suite des carrés parfaits : 0, 1, 4, 9, 16, … Ici, ( u(n) = n^2 ).
2. Modes de définition d’une suite
Une suite peut être définie de deux façons principales :
a) Formule explicite
Dans ce cas, chaque terme peut être calculé directement à partir de son rang n.
Exemple : ( u(n) = 3n + 1 )
b) Formule de récurrence
La suite est définie à partir de son premier terme (appelé « terme initial ») et chaque terme suivant est défini en fonction du terme précédent.
Exemple : ( u0 = 2 ) puis ( u{n+1} = u_n + 5 )
3. Représentation graphique
Il est souvent utile de représenter les termes d’une suite sur un graphique : l’axe horizontal correspond au rang n, l’axe vertical à la valeur du terme ( u_n ).
4. Évolution discrète versus continue
Les suites modélisent généralement l’évolution de quantités discrètes (étape par étape), contrairement aux fonctions qui décrivent des évolutions continues.
5. Quelques usages
- Modéliser des phénomènes évolutifs : population année après année, variations budgétaires, etc.
- Résoudre des problèmes pratiques ou internes aux mathématiques.