1. Objectif
Démontrer la méthode générale de résolution de l’équation (ax^2 + bx + c = 0) (avec (a neq 0)).
2. Complétion du carré
Pour résoudre (ax^2 + bx + c = 0), on applique la méthode suivante :
- On divise par (a) (si (a neq 1)) :
[
x^2 + frac{b}{a}x + frac{c}{a} = 0
] - On cherche à mettre sous la forme ((x + d)^2 = e) : Complétion du carré :
[
x^2 + frac{b}{a}x = -frac{c}{a}
]
[
x^2 + frac{b}{a}x + left(frac{b}{2a}right)^2 = -frac{c}{a} + left(frac{b}{2a}right)^2
]
[
left(x + frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2 – 4ac}{4a^2}
] - On extrait la racine, d’où la formule :
[
x = frac{-b pm sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
]
3. Conclusion
On retrouve ainsi la fameuse formule du discriminant, valable pour tout polynôme du second degré.
