1. Introduction
Une fonction polynôme du second degré, ou fonction quadratique, est une fonction qui s’écrit sous la forme :
[
f(x) = ax^2 + bx + c quad text{où} ; a neq 0,
]
avec (a), (b) et (c) des réels. Cette expression s’appelle la forme développée.
2. Forme canonique
Une autre écriture très utile de la fonction du second degré est la forme canonique :
[
f(x) = a(x – alpha)^2 + beta
]
L’intérêt principal de cette forme est qu’elle met en évidence le sommet de la parabole représentant (f), situé au point ((alpha, beta)) avec (
alpha = – frac{b}{2a}) et (beta = f(alpha)).
3. Sens de variation
Le sens de variation d’une fonction polynôme du second degré dépend du signe de (a) :
- Si (a > 0), la parabole est tournée vers le haut : (f) est décroissante jusqu’à (x = alpha), puis croissante après.
- Si (a < 0), la parabole est tournée vers le bas : (f) est croissante jusqu’à (x = alpha), puis décroissante après.
4. Exemple
Considérons (f(x) = 2x^2 – 4x + 1). Ici, (a = 2), (b = -4), (c = 1).
- Forme canonique :
(alpha = -frac{-4}{2 times 2} = 1), (beta = f(1) = 2times 1^2 – 4times 1 + 1 = -1)
Donc, (f(x) = 2(x-1)^2 – 1) - La fonction est décroissante pour (x < 1), croissante pour (x > 1).
Conclusion
La connaissance des deux formes et de leur interprétation graphique facilite la résolution de nombreux problèmes.
