1. Étude du signe
Pour étudier le signe de (f(x) = ax^2 + bx + c), on commence par trouver ses racines éventuelles (voir le calcul du discriminant) puis on s’intéresse au signe de (a).
Par convention :
- Si (a > 0), la parabole est tournée vers le haut.
- Si (a < 0), elle est tournée vers le bas.
2. Règle
- Si deux racines réelles distinctes (x_1 < x_2) existent :
- (f(x)) prend le signe de (a) en dehors de ([x_1, x_2]) et le signe opposé de (a) entre (x_1) et (x_2).
- Si une seule racine réelle (double racine (x_0)) :
- (f(x)) a le signe de (a) sauf en (x_0) où (f(x_0) = 0).
3. Exemple
Pour (f(x) = -x^2 + 4x – 3), (a = -1 < 0)
- (Delta = 16 – 12 = 4)
- Racines : (x_1 = 1), (x_2 = 3)
- Signe : (f(x) < 0) pour (x < 1) et (x > 3), (f(x) > 0) entre 1 et 3.
Représentation graphique
On peut également dresser un tableau de signes, utile pour résoudre des inéquations.
