Comprendre ce qu’est une suite
Une suite est une liste de nombres ordonnés, appelés termes, numérotés à partir d’un rang. On parle de suite arithmétique quand l’on ajoute toujours la même valeur, et de suite géométrique quand l’on multiplie toujours par la même valeur.
1. Calcul d’un terme de rang donné
Pour obtenir le terme d’une suite à un rang précis (par exemple, le dixième terme), il existe deux façons classiques :
- Définition explicite: une formule directe donne le terme général en fonction de n.
- Définition par récurrence: le terme suivant s’obtient à partir du précédent.
Exemple :
Supposons une suite arithmétique définie par : ( u0 = 3 ), ( u{n+1} = u_n + 2 ).
La formule explicite est ( u_n = 3 + 2n ). Le terme de rang 4 (c’est-à-dire ( u_4 )) vaut ( 3 + 2times4 = 11 ).
Pour une suite géométrique, ( v0 = 5 ), ( v{n+1} = 2v_n ), donc ( v_n = 5 times 2^n ).
2. Calcul d’une somme finie de termes
Souvent, on cherche aussi à additionner les premiers termes d’une suite.
- Pour une suite arithmétique, la somme des n+1 premiers termes s’obtient avec : ( S = (n+1) times (u_0 + u_n)/2 )
- Pour une suite géométrique, la somme ( S = v_0 times frac{1-q^{n+1}}{1-q} ) (si la raison q ≠ 1)
Exemple :
Pour la suite ( u_n = 3 + 2n ), la somme des 5 premiers termes (de ( u_0 ) à ( u_4 )) :[
S = (5) times (u_0 + u_4)/2 = 5 times (3 + 11)/2 = 5 times 7 = 35
]
Application algorithmique
On peut écrire un algorithme (ou utiliser un tableur) pour calculer ces termes et sommes, en écrivant une boucle qui calcule chaque valeur ou bien en utilisant la formule explicite.
