Qu’est-ce qu’une recherche de seuil ?
Dans de nombreux problèmes, il s’agit de déterminer à partir de quel rang un terme d’une suite dépasse (ou atteint) une certaine valeur appelée seuil.
1. Recherche de seuil par calcul direct
- Si on dispose de la formule explicite de la suite, il suffit de poser une inéquation et de la résoudre par rapport au rang n.
- Exemple : si ( u_n = 5 + 3n ), déterminer pour quel n, ( u_n geq 50 ).
- ( 5 + 3n geq 50 ) ↔ ( 3n geq 45 ) ↔ ( n geq 15 )
- Donc, à partir de n = 15, le terme de la suite dépasse 50.
2. Recherche de seuil par algorithme ou tableur
- Si la formule n’est pas aisée ou que l’on travaille par récurrence, on calcule les termes successivement jusqu’à dépasser le seuil.
- Cette méthode s’automatise aisément avec un algorithme ou un tableur.
3. Recherche graphique
- On peut aussi estimer graphiquement à partir d’une représentation des termes (voir le graphique).
Applications concrètes :
- Croissance d’une population dépassant une limite
- Montant d’un capital atteignant un certain seuil
- Niveau d’un stock atteignant une capacité maximale, etc.
Lien algorithmique :
Dans un algorithme, on met en place une boucle qui incrémente n et calcule les termes jusqu’à franchir le seuil désiré.
Conclusion
La recherche de seuil est une compétence fondamentale qui permet de prévoir le moment où une évolution modélisée par une suite atteint une valeur clé, avec des applications fréquentes en économie, sciences, gestion, etc.
