Calculer les valeurs exactes des sinus et cosinus de certains angles remarquables s’appuie sur des propriétés géométriques.
1. sin(π/4)
On considère un triangle isocèle rectangle dont les angles sont π/4, π/4 et π/2. Les deux côtés de l’angle droit sont égaux, donc :
- Soient les côtés egaux à 1. L’hypoténuse a ainsi une longueur √2 (théorème de Pythagore)
- sin(π/4) = côté opposé / hypoténuse = 1/√2 = √2/2
2. cos(π/3)
Dans un triangle équilatéral (chaque angle π/3), coupé en deux, on obtient un triangle rectangle où l’un des angles est π/3 :
- Si le côté du triangle est 1, la base du demi-triangle fait 1/2 et l’hypoténuse 1. La hauteur se calcule par Pythagore :
- cos(π/3) = côté adjacent / hypoténuse = (1/2)/1 = 1/2
3. sin(π/3)
- Dans ce même triangle, la hauteur (opposée à π/3) vaut √3/2
- sin(π/3) = hauteur / hypoténuse = (√3/2) / 1 = √3/2
Résumé :
- sin(π/4) = √2/2
- cos(π/3) = 1/2
- sin(π/3) = √3/2
