Démonstration : fonction dérivée de la fonction carrée, de la fonction inverse

Dérivée de la fonction carrée $f(x)=x^2$

On calcule la dérivée en $a$ :
[
f'(a) = lim{h to 0} frac{(a+h)^2 – a^2}{h} = lim{h to 0} frac{2ah + h^2}{h} = lim_{h to 0} 2a + h = 2a
]
Donc, $f'(x) = 2x$ pour tout $x$.

Dérivée de la fonction inverse $g(x) = dfrac{1}{x}$ pour $x neq 0$

[
g'(a) = lim{h to 0} frac{1}{a+h} – frac{1}{a} Big/ h
= lim{h to 0} frac{a – (a+h)}{h(a+h)a}
= lim{h to 0} frac{-h}{h(a+h)a}
= lim{h to 0} frac{-1}{(a+h)a}
= -frac{1}{a^2}
]
Donc, $g'(x) = -dfrac{1}{x^2}$.