Objectif
Montrer que la fonction $f(x) = sqrt{x}$ n’est pas dérivable en $x=0$.
Calcul de la dérivée à droite
[
f'(0^+) = lim{h to 0^+} frac{sqrt{0+h} – 0}{h} = lim{h to 0^+} frac{sqrt{h}}{h}
]
Or, $frac{sqrt{h}}{h} = frac{1}{sqrt{h}}$, qui tend vers $+infty$ quand $h to 0^+$. Il n’existe donc pas de nombre fini.
À gauche
La fonction n’est pas définie pour $x < 0$.
Conclusion
La fonction $sqrt{x}$ n’est pas dérivable en $0$ : à droite, le taux de variation tend vers l’infini, à gauche ce n’est pas défini.
