Étudier la position relative de deux courbes représentatives

Étudier la position relative de deux courbes consiste à comparer géométriquement leurs graphes dans un même repère.

Étapes de l’étude :

1. Exprimer la différence des fonctions : On considère f(x) et g(x), puis on étudie le signe de la différence h(x) = f(x) – g(x).

2. Résoudre f(x) = g(x) : Trouver les points d’intersection des deux courbes (où leurs valeurs sont égales)

3. Étudier le signe de f(x) – g(x) :

   • f(x) – g(x) > 0 : f(x) est au-dessus de g(x)
   • f(x) – g(x) < 0 : f(x) est en dessous de g(x)

4. Tableau de signes : Permet de synthétiser sur quels intervalles une courbe est au-dessus ou en dessous de l’autre.

Exemple :

Soient f(x) = x^2 et g(x) = 2x + 3
On a : h(x) = x^2 – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1)

• Les courbes se coupent en x = -1 et x = 3.
• On fait un tableau de signes de h(x) :
  • Pour x < -1 : h(x) > 0 → f(x) au-dessus de g(x)
  • Pour -1 < x < 3 : h(x) < 0 → f(x) en dessous
  • Pour x > 3 : h(x) > 0 → f(x) au-dessus

Cette étude permet de répondre précisément à des questions de position relative sur un intervalle donné.