Pour étudier les variations d’une fonction, on analyse comment ses valeurs évoluent lorsque la variable change. Cette étude repose sur la notion de dérivée, qui donne le sens de variation de la fonction sur un intervalle.
Étapes pour étudier les variations d’une fonction :
- Détermination du domaine de définition : Identifier l’ensemble des valeurs possibles pour la variable donnée.
- Calcul de la dérivée : On détermine la dérivée de la fonction (notée f ‘(x)).
- Recherche des annulations/du signe de la dérivée :
- Résoudre f ‘(x) = 0 pour trouver les points où la fonction peut atteindre un extremum (maximum ou minimum).
- Étudier le signe de la dérivée sur chaque intervalle délimité par ces points. Le signe de la dérivée indique le sens de variation :
- f ‘(x) > 0 : la fonction est croissante
- f ‘(x) < 0 : la fonction est décroissante
- Tableau de variations : On présente les résultats dans un tableau qui récapitule les variations, les extremums et éventuellement les limites de la fonction.
Exemple :
Soit f(x) = x^2 – 4x + 1
- Domaine de définition : ℝ
- f ‘(x) = 2x – 4
- f ‘(x) = 0 ⟺ x = 2
- Pour x < 2 : f ‘(x) < 0 (fonction décroissante)
- Pour x > 2 : f ‘(x) > 0 (fonction croissante)
La fonction atteint un minimum en x = 2.
Un tableau de variations permet de visualiser clairement ces résultats.
Ainsi, l’étude des variations d’une fonction repose sur le calcul de sa dérivée puis l’analyse du comportement de celle-ci pour décrire l’évolution de la fonction.
