Approximation de π par la méthode d’Archimède

Introduction

Archimède fut l’un des premiers mathématiciens à avoir tenté d’estimer la valeur du nombre π en utilisant une approche géométrique. Sa méthode repose sur l’approximation du périmètre d’un cercle à l’aide de polygones réguliers inscrits et circonscrits autour du cercle.

1. Principe de la méthode d’Archimède

Archimède a observé que le périmètre d’un polygone régulier à n côtés inscrits dans un cercle est inférieur à la circonférence du cercle, tandis que le périmètre d’un polygone régulier circonscrit à n côtés est supérieur à cette même circonférence. Plus le nombre de côtés est grand, plus ces deux périmètres encadrent précisément la longueur de la circonférence.

• Cercle de rayon R
• Périmètre du cercle : ( 2 pi R )
• Polygone inscrit/circonscrit à n côtés.

2. Explication pas à pas de l’algorithme

1. Choisir un cercle de rayon R = 1 (pour simplifier les calculs).
2. Choisir un nombre initial de côtés n (souvent 6 pour commencer : un hexagone).
3. Calculer le périmètre du polygone inscrit : on divise le cercle en n secteurs, chaque côté mesure ( 2R sin left( frac{pi}{n} right) ) donc le périmètre ( P_{inscrit} = 2n sin left( frac{pi}{n} right) ).
4. Calculer le périmètre du polygone circonscrit : chaque côté mesure ( 2R tan left( frac{pi}{n} right) ) donc ( P_{circonscrit} = 2n tan left( frac{pi}{n} right) ).
5. Encadrer π grâce au rapport entre le périmètre des polygones et le diamètre (2R=2) :
   [
   frac{P{inscrit}}{2} < pi < frac{P{circonscrit}}{2}
   ]
6. Augmenter le nombre de côtés (par exemple, doubler n) pour améliorer la précision et répéter.

3. Exemple d’application

Exemple avec un hexagone (n=6):

• Rayon R = 1
• Côté polygone inscrit : ( 2 times 1 times sin(pi/6) = 2 times 0{,}5 = 1 )
• Périmètre inscrit : ( 6 times 1 = 6 )
• ( frac{6}{2} = 3 ) donc ( 3 < pi )

Pour un polygone circonscrit :

• Côté polygone circonscrit : ( 2 times 1 times tan(pi/6) approx 2 times 0{,}577 = 1{,}154 )
• Périmètre circonscrit : ( 6 times 1{,}154 = 6{,}928 )
• ( frac{6{,}928}{2} approx 3{,}464 ) donc ( pi < 3{,}464 )

On a donc :
[
3 < pi < 3{,}464
]

En augmentant le nombre de côtés (12, 24, 48, 96, etc.), on obtient des bornes de plus en plus précises pour π.

4. Algorithme simple

Choisir n (nombre de côtés)
Tant que la précision n’est pas suffisante :
   Calculer p_inscrit = 2 * n * sin(π / n)
   Calculer p_circonscrit = 2 * n * tan(π / n)
   Afficher p_inscrit / 2, p_circonscrit / 2
   n ← 2 * n
Fin Tant que

5. Conclusion

La méthode d’Archimède illustre comment l’algorithme permet, étape par étape, d’encadrer la valeur de π, et montre la puissance de l’approximation numérique à partir du raisonnement géométrique.

6. Résumé visuel

• Plus le nombre de côtés augmente, plus l’approximation de π est précise.
• Cette méthode introduit la notion d’algorithme en mathématiques, utile dans de nombreux contextes scientifiques.