La fonction exponentielle peut être approchée numériquement par différentes méthodes. Deux approches classiques sont la méthode d’Euler et l’approximation de e par la suite (1 + 1/n)^n.
1. Construction de la fonction exponentielle par la méthode d’Euler
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La méthode d’Euler consiste à approximer la solution de l’équation différentielle y’ = y, y(0) = 1, qui définit la fonction exponentielle.
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On utilise un pas h > 0 et on construit les termes :
y_{n+1} = y_n + h yn
ou encore y{n+1} = y_n (1 + h) -
Pour x = n h, on a y_n ≈ e^{x}
2. Approximation de e par la suite ((1 + 1/n)^n)
- On prend n grand, puis on calcule (1 + 1/n)^n. Cette suite converge vers e.
Exemple :
- Pour n = 10, (1 + 1/10)^{10} ≈ 2,5937
- Pour n = 100, (1 + 1/100)^{100} ≈ 2,7048
- Pour n = 1000, (1 + 1/1000)^{1000} ≈ 2,7169
Plus n est grand, plus l’approximation est proche du nombre d’Euler.
Ces méthodes sont utiles pour illustrer la construction concrète de la fonction exponentielle et du nombre e.
