La fonction exponentielle est l’une des fonctions les plus importantes en mathématiques et en sciences. Elle modélise la croissance ou la décroissance avec un taux d’évolution constant.
Définition :
La fonction exponentielle de base a (avec a > 0) est la fonction qui à tout réel x associe a puissance x :
- notée x ↦ a^x
- La fonction exponentielle usuelle est x ↦ e^x, où e ≈ 2,71828 est le nombre d’Euler.
Propriétés :
- e^{x+y} = e^x × e^y
- e^0 = 1
- e^{-x} = 1 / e^x
- Pour tout x, e^x > 0
- La courbe est toujours croissante
Exemple :
- Pour x = 0, e^0 = 1
- Pour x = 1, e^1 ≈ 2,72
- Pour x = -1, e^{-1} ≈ 0,37
La fonction exponentielle intervient dans de nombreux domaines : croissance bactérienne, intérêts composés, radioactivité, etc.
Représentation graphique :
La courbe de e^x passe par le point (0,1), est toujours au-dessus de l’axe des abscisses et croît très vite quand x augmente.
