Les fonctions t ↦ e^{-kt} et t ↦ e^{kt} (avec k > 0) modélisent respectivement la décroissance et la croissance exponentielle. Elles sont très utilisées pour décrire les évolutions dans le temps de certains phénomènes.
Étude des fonctions :
-
t ↦ e^{kt} :
- Fonction strictement croissante, modélise une croissance rapide.
- Exemple : capital augmenté d’un taux constant.
-
t ↦ e^{-kt} :
- Fonction strictement décroissante, modélise la décroissance (quantité radioactive, refroidissement, élimination d’un médicament).
- À mesure que t augmente, e^{-kt} tend vers 0.
Suites de type (e^{na}):
On considère la suite (u_n) définie par u_n = e^{na}, où a est un réel fixé. Elle est géométrique de raison e^a.
Exemple :
Soit k = 0,5. La fonction t ↦ e^{0,5 t} croît rapidement. La suite u_n = e^{0,5 n} est géométrique de raison e^{0,5} ≈ 1,65.
Ces fonctions et suites sont au cœur de nombreuses modélisations (biologie, finance, physique).
