Définition du taux de variation
Le taux de variation d’une fonction $f$ entre deux valeurs $a$ et $b$ (avec $a neq b$) mesure comment la fonction évolue entre ces deux points. Il est défini par :
[text{Taux de variation de } f text{ entre } a text{ et } b = frac{f(b) – f(a)}{b-a}]
C’est le coefficient directeur de la droite sécante passant par les points $A(a; f(a))$ et $B(b; f(b))$ sur la courbe.
Exemple :
Pour $f(x)=x^2$, calculons le taux de variation entre $a=2$ et $b=4$ :
[
frac{f(4) – f(2)}{4-2} = frac{16-4}{2} = 6
]
Nombre dérivé
Le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$ est la limite du taux de variation lorsque $b$ tend vers $a$. Il représente la pente de la tangente à la courbe au point $a$ :
[
f'(a) = lim_{h rightarrow 0} frac{f(a+h)-f(a)}{h}
]
Illustration :
- Pour $f(x)=x^2$, $f'(a)=2a$.
- Par exemple, en $a=3$ : $f'(3)=2times3=6$.
En résumé :
- Le taux de variation donne une évolution moyenne.
- Le nombre dérivé donne l’évolution instantanée (localement).
