On cherche l’ensemble des points M du plan tels que ( vec{MA} cdot vec{MB} = 0 ).
Cela signifie que les vecteurs ( vec{MA} ) et ( vec{MB} ) sont orthogonaux.
Démarche :
Les deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si M appartient au cercle de diamètre [AB].
Démonstration :
Soient A et B deux points distincts du plan.
L’ensemble des points M tel que ( vec{MA} cdot vec{MB} = 0 ) est l’ensemble des points M pour lesquels l’angle ( widehat{AMB} ) est droit. C’est exactement le cercle de diamètre [AB] (théorème de Thalès).
Exemple :
Si ( A = (0, 0) ) et ( B = (2, 0) ), alors tout point M(x, y) tel que OM appartient au cercle de diamètre [AB] satisfait :
[(x-0)(x-2) + (y-0)(y-0) = 0] soit (x(x-2) + y^2 = 0), qui équivaut à l’équation du cercle de diamètre [AB].
