Soit ABC un triangle quelconque.
On pose comme longueurs : (AB = c), (AC = b), (BC = a), et (theta = widehat{BAC}).
[
a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos(theta)
]
Démonstration (avec le produit scalaire) :
On place A en l’origine du repère, puis on a : (vec{AB} = vec{c}, vec{AC} = vec{b}).
Alors:
[|BC|^2 = (vec{AC} – vec{AB})cdot(vec{AC} – vec{AB})]
Développons :
[|BC|^2 = vec{AC}cdotvec{AC} + vec{AB}cdotvec{AB} – 2vec{AC}cdotvec{AB}]
Or (vec{AC}cdotvec{AC} = |AC|^2 = b^2), (vec{AB}cdotvec{AB} = |AB|^2 = c^2), et (vec{AC}cdotvec{AB} = bccos(theta)).
On obtient alors :
[a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos(theta)]
C’est la formule d’Al-Kashi démontrée.
