Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite

Problème posé :
Étant donné un point A(x₀, y₀) et une droite D d’équation (ax + by + c = 0), comment déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur D ?

Méthode :

1. Vecteur normal : Un vecteur normal à D est (vec{n} = (a, b)).
2. Paramétrisation : Le point H est sur D et (overrightarrow{AH}) est colinéaire à (vec{n}):
   Soit (H(x, y)) alors (overrightarrow{AH} = (x – x_0, y – y_0) = k(a, b)) pour un certain réel k.
3. H appartient à D : (ax + by + c = 0).
4. Résolution du système :
   [
   begin{cases}
   x = x_0 + ka
   y = y_0 + kb
   ax + by + c = 0
   end{cases}
   ]
   On résout pour k puis on trouve (x, y).

Exemple :
Soit A(1,2) et D : 2x – y + 3 = 0
Vecteur normal : (2, –1)
Soit H(1+2k, 2–k)
Comme H ∈ D, 2(1 + 2k) – (2 – k) + 3 = 0
On résout cette équation pour k, puis on calcule H.