1. Arbres pondérés
Un arbre pondéré est un schéma qui permet de représenter de manière visuelle les différentes étapes d’une expérience aléatoire comportant plusieurs étapes. À chaque branche sont associées les probabilités des différents résultats possibles.
Chacune des issues au bout d’une branche correspond à un enchaînement d’événements.
Exemple :
Si on tire une boule dans une urne (rouge ou bleue) puis on lance une pièce (pile ou face), un arbre pondéré aide à calculer la probabilité d’obtenir toute combinaison (par exemple, « boule rouge et pile »).
Sur chaque branche, on inscrit la probabilité de passer de l’étape actuelle à l’étape suivante.
2. Calcul de probabilités avec un arbre
Pour calculer la probabilité d’une issue, on multiplie les probabilités au long du chemin emprunté sur l’arbre.
- Si les événements sont indépendants, la probabilité d’obtenir (A puis B) est :
[
P(A text{ puis } B) = P(A) times P(B)
]
Exemple d’utilisation :
- Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, on la remet, puis on relance.
- P(Rouge) = 3/5, P(Bleue) = 2/5.
- Pour obtenir deux rouges, on multiplie (3/5) × (3/5) = 9/25.
3. Succession d’événements indépendants
Quand on répète la même expérience plusieurs fois et que chaque résultat n’influence pas le suivant (tirage avec remise, lancer de dés, etc.), les événements sont indépendants.
- Pour deux tirages indépendants :
[
P(A text{ et } B) = P(A) times P(B)
] - Pour n tirages :
[
P(A text{ obtenu à chaque tirage}) = [P(A)]^n
]
Exemple :
On lance une pièce 3 fois. Probabilité d’obtenir pile à chaque fois = (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/8.
4. Schémas et représentation
Les arbres sont particulièrement utiles pour structurer les calculs, faciliter la compréhension et éviter les oublis de cas. Ils sont aussi un outil pour vérifier si des événements sont indépendants ou non.
