1. Définitions fondamentales
Fréquence marginale :
La fréquence marginale est la proportion d’individus vérifiant seulement un des deux caractères étudiés, sans tenir compte de la valeur de l’autre. Dans un tableau croisé, ce sont les totaux des lignes ou des colonnes rapportés à l’effectif total.
Fréquence conditionnelle :
La fréquence conditionnelle mesure la proportion d’individus vérifiant un caractère parmi ceux qui vérifient un autre caractère. Par exemple, la fréquence de A sachant B se calcule parmi les individus concernés par B.
Probabilité conditionnelle :
Lorsque l’on tire aléatoirement un individu d’une population finie, la fréquence d’un événement devient sa probabilité. La probabilité de A sachant B, notée P(A|B), est la probabilité que A soit réalisé sachant que B l’est aussi. On a :
[
P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}quad (text{si }P(B) > 0)
]
2. Tableau croisé d’effectifs et calculs
Pour représenter et calculer ces fréquences, on utilise souvent un tableau croisé d’effectifs. Les totaux des lignes et colonnes permettent de déterminer les fréquences marginales ; les cases permettent de trouver les fréquences conditionnelles.
Exemple :
Supposons une classe de 30 élèves :
- 18 aiment les maths (A), 12 n’aiment pas (¬A)
- 20 aiment la physique (B), 10 n’aiment pas (¬B)
- 8 aiment les deux,
- 10 aiment seulement les maths,
- 12 aiment seulement la physique.
Le tableau croisé permet de retrouver les totaux et de calculer les fréquences marginales (ex: aimer les maths = 18/30 = 0,6) ou conditionnelles (ex: aimer les maths sachant aimer la physique = 8/20 = 0,4).
3. Indépendance de deux événements
Deux événements A et B sont dits indépendants si et seulement si la probabilité de A sachant B est la même que la probabilité de A seule.
[
P(A|B) = P(A) Longleftrightarrow P(A cap B) = P(A) times P(B)
]
Bon à savoir : L’indépendance signifie que la réalisation de l’un n’a aucune influence sur la réalisation de l’autre.
Exemple d’indépendance :
Lancer deux pièces de monnaie. L’événement « la première pièce montre face » (A) est indépendant de « la seconde pièce montre pile » (B) car le résultat d’une pièce n’influe pas sur l’autre.
