1. Définition
Un arbre pondéré est un schéma qui représente un enchaînement d’expériences aléatoires sous forme de branches, chacune portant la probabilité de l’événement associé.
2. Construction d’un arbre pondéré
- Chaque nœud représente un état, chaque branche un événement possible avec sa probabilité.
- Les branches issues d’un même nœud partent avec des probabilités qui, ensemble, totalisent 1.
Exemple :
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire une boule, on note la couleur, puis on remet la boule et on tire à nouveau :
- Première branche : rouge (3/5), verte (2/5).
- Chaque sous-branche : encore rouge (3/5), verte (2/5).
3. Calculs de probabilités
Pour calculer la probabilité d’un événement (un chemin dans l’arbre), on multiplie les probabilités des branches suivies. Pour des événements composés (union de chemins), on additionne
les probabilités des chemins correspondants.
Exemple : Probabilité d’obtenir deux boules rouges : 3/5 × 3/5 = 9/25.
4. Applications
Les arbres pondérés sont particulièrement utiles pour calculer des probabilités conditionnelles ou pour représenter la succession de plusieurs épreuves aléatoires.
Résumé :
- L’arbre pondéré est une représentation graphique permettant d’organiser et de calculer des probabilités complexes.
