Méthode de Monte-Carlo : estimation de l’aire sous la parabole, estimation du nombre π

1. La méthode de Monte-Carlo

Cette technique consiste à utiliser le hasard et l’approximation pour estimer une grandeur, en réalisant un grand nombre d’essais aléatoires.

2. Estimer l’aire sous une parabole (ex : y = x² entre 0 et 1)

1. On dessine le carré unité [0;1] × [0;1].
2. On tire un grand nombre de points au hasard dans le carré.
3. On compte combien de ces points sont sous la courbe y = x².
4. L’aire estimée ≈ (nombre de points sous la courbe) / (nombre total de points).

Exemple numérique : Si sur 10 000 points tirés, 3 333 sont sous la courbe, l’aire (approximativement) ≈ 0,3333.

3. Estimation du nombre π

1. On considère un quart de cercle de rayon 1 inscrit dans un carré de côté 1.
2. On tire des points au hasard dans le carré.
3. On compte ceux qui tombent dans le quart de disque (x² + y² ≤ 1).
4. π ≈ 4 × (nombre de points dans le quart de disque) / (nombre total de points).

Exemple numérique : Si sur 10 000 points, 7 850 sont dans le quart de disque, π ≈ 4×0,785 = 3,14.

Résumé :

• Monte-Carlo est une méthode probabiliste pour approximer des aires ou des constantes mathématiques en utilisant le hasard.