Soient ( vec{u} = (x, y) ) et ( vec{v} = (x’, y’) ).
Définition du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dans le plan est :
[
det(vec{u}, vec{v}) = x cdot y’ – y cdot x’
]
Sens direct
Si ( vec{u} ) et ( vec{v} ) sont colinéaires, alors il existe un réel k tel que ( vec{v} = k vec{u} ).
Donc :
[
(x’, y’) = (k x, k y) implies x’ = kx, y’ = k y
]
Calculons le déterminant :
[
x cdot y’ – y cdot x’ = x cdot (k y) – y cdot (k x) = k(xy – yx) = 0
]
Sens réciproque
Si ( x cdot y’ – y cdot x’ = 0 ), alors ( x cdot y’ = y cdot x’ ). On suppose ( x neq 0 ) :
[
y’ = frac{y}{x} x’qquad (ou y = 0, x = 0 qui correspond au vecteur nul)]
Donc ( vec{v} = k vec{u} ) avec ( k = frac{x’}{x} ): les vecteurs sont colinéaires.
Le raisonnement est analogue si ( x ) ou ( y ) est nul.
Conclusion : Deux vecteurs du plan sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
