Dans cette leçon, nous allons démontrer qu’une droite passant par deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ admet une équation cartésienne générale de la forme $ax + by + c = 0$, en utilisant le déterminant.
1. Déterminant et alignement
Trois points $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, et $M(x, y)$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{AM}$ sont colinéaires. Ce critère s’exprime avec le déterminant suivant :
[
text{det}(overrightarrow{AB}, overrightarrow{AM}) = 0
]
Calcul du déterminant :
[
left| begin{array}{cc}
x_B – x_A & y_B – y_A
x – x_A & y – y_A
end{array} right| = 0
]
Soit :
[(x_B – x_A)(y – y_A) – (y_B – y_A)(x – x_A) = 0]
2. Passage à la forme générale
Développons l’expression :
[(x_B – x_A)(y – y_A) – (y_B – y_A)(x – x_A) = 0]
[Rightarrow (x_B – x_A)y – (x_B – x_A)y_A – (y_B – y_A)x + (y_B – y_A)x_A = 0]
Regroupons :
[(x_B-x_A)y – (y_B-y_A)x + [(y_B-y_A)x_A – (x_B-x_A)y_A] = 0]
Notons alors :
$a = -(y_B – y_A)$, $b = x_B – x_A$, $c = (y_B-y_A)x_A – (x_B-x_A)y_A$
On obtient :
[a x + b y + c = 0]
C’est la forme générale d’une équation de droite dans le plan.
3. Interprétation
- Le vecteur directeur de la droite est $(-b, a)$.
- Tout point $M(x, y)$ du plan appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient $a x + b y + c = 0$.
