Soient M un point et Δ une droite du plan.
Soit H le projeté orthogonal de M sur Δ, c’est-à-dire le pied de la perpendiculaire passant par M et coupant Δ.
Pour tout autre point P de Δ différent de H, considérons le triangle MHP.
- L’angle ( widehat{MHP} ) est droit.
- Par le théorème de Pythagore :[text{MP}^2 = text{MH}^2 + text{HP}^2]
- ( text{MP} > text{MH} ) car ( text{HP} ne 0 ) si ( P ne H ).
Donc, la distance la plus courte entre M et un point de Δ est atteinte pour P = H, et la longueur correspondante est ( text{MH} ).
Conclusion :
Le projeté orthogonal H est le point de Δ le plus proche de M.
- Ce résultat est fondamental pour les problèmes d’optimisation et de distance en géométrie.
Exemple :
Si M n’est pas sur Δ, la perpendiculaire abaissée de M sur Δ rencontre Δ en H, qui minimise la distance à M.
