Dans le plan, deux droites peuvent avoir plusieurs positions relatives. L’étude des positions relatives des droites est essentielle pour comprendre la géométrie vectorielle et repérée.
Cas possibles
-
Parallèles distinctes :
Deux droites sont parallèles si elles ont le même vecteur directeur, c’est-à-dire si leurs coefficients directeurs sont égaux. -
Confondue :
Deux droites sont confondues si elles possèdent le même vecteur directeur et qu’il existe un point commun à toutes les deux. -
Sécantes :
Deux droites sont sécantes si elles n’ont pas le même vecteur directeur, c’est-à-dire si leurs coefficients directeurs sont différents. Elles admettent alors un unique point d’intersection.
Critères d’analyse dans le repère cartésien
Soient $d_1 : a x + b y + c = 0$ et $d_2 : a’ x + b’ y + c’ = 0$
- Vecteur directeur de $d_1$ : $( -b, a )$
- Vecteur directeur de $d_2$ : $( -b’, a’ )$
Pour savoir si deux droites sont parallèles :
On regarde si les vecteurs sont colinéaires :
[
frac{a}{a’} = frac{b}{b’} quad text{(si $b’ neq 0$)}
]
Pour savoir si deux droites sont confondues :
En plus d’être parallèles, il faut qu’un point appartient aux deux droites ou que leurs équations soient proportionnelles.
Pour savoir si deux droites sont sécantes :
Leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. On peut alors résoudre le système formé par leurs équations pour trouver le point d’intersection.
Illustrations
- Exemple de droites parallèles :
$d_1 : y = 2x + 1$ et $d_2 : y = 2x – 3$ (même coefficient directeur 2) - Exemple de droites sécantes :
$d_1 : y = x + 1$ et $d_2 : y = -x + 4$ (coefficients directeurs différents : 1 et -1)
