Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues

Dans cette leçon, nous allons apprendre à résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues, c’est-à-dire à trouver les valeurs de deux variables qui satisfont deux équations simultanément.

Définition : Un système de deux équations linéaires à deux inconnues s’écrit généralement :
[
left{
begin{array}{l}
a x + b y = c
a’ x + b’ y = c’
end{array}
right.
]

Méthodes de résolution

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un tel système. Nous en présenterons deux : la méthode de substitution et la méthode de combinaison linéaire (ou « par addition/soustraction »).

1. Méthode de substitution

1. Isoler une inconnue dans l’une des deux équations (par exemple $x$ en fonction de $y$).
2. Remplacer cette expression dans la seconde équation.
3. Résoudre l’équation obtenue pour trouver la valeur d’une inconnue.
4. Remplacer cette valeur dans l’expression isolée pour déterminer l’autre inconnue.

Exemple :
[
left{
begin{array}{l}
x + 2y = 5
3x – y = 4
end{array}
right.
]
On isole $x$ dans la première équation : $x = 5 – 2y$
On remplace dans la deuxième : $3(5 – 2y) – y = 4$
$15 – 6y – y = 4$ donc $15 – 7y = 4$ donc $y = 11/7$
On trouve alors $x = 5 – 2 times 11/7 = 5 – 22/7 = 13/7$
Solution : $x = 13/7$, $y = 11/7$

2. Méthode de combinaison linéaire

1. Multiplier éventuellement une ou deux équations pour avoir les mêmes coefficients devant l’une des inconnues.
2. Additionner ou soustraire les deux équations pour éliminer une inconnue.
3. Résoudre pour la première inconnue obtenue.
4. Remplacer dans une des équations pour obtenir la seconde inconnue.

Exemple :
Même système que plus haut.
Multiplions la première équation par 3 : $3x + 6y = 15$
On écrit :
[
left{
begin{array}{l}
3x + 6y = 15
3x – y = 4
end{array}
right.
]
Soustraire la deuxième à la première : $(3x + 6y) – (3x – y) = 15 – 4$
$7y = 11$ donc $y = 11/7$, puis $x = 13/7$ comme avant.

Interprétation graphique

Chaque équation correspond à une droite dans le plan. Résoudre le système revient à trouver le point d’intersection de ces deux droites.

Cas particuliers

• Système impossible (pas de solution) : les droites sont parallèles.
• Système indéterminé (infinité de solutions) : les deux droites sont confondues.

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