Définitions et caractéristiques
- Un vecteur du plan, généralement noté ( vec{u} ), est défini par une direction, un sens et une norme (longueur).
- Le vecteur ( vec{AB} ) représente la translation qui envoie le point A sur le point B.
- Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme (( vec{AB} = vec{CD} ) si et seulement si les segment AB et CD sont dans la même direction, de même longueur et orientés de la même façon).
- Le vecteur nul (noté ( vec{0} )) est le vecteur dont l’origine et l’extrémité sont le même point. Sa norme est nulle.
Représentation graphique
Pour représenter un vecteur, on trace une flèche d’un point de départ vers un point d’arrivée, la longueur de la flèche correspond à la norme.
Addition de vecteurs et relation de Chasles
- La somme de vecteurs correspond à l’enchaînement de deux translations. Par exemple, ( vec{AB} + vec{BC} = vec{AC} ) (relation de Chasles).
Exemple :
Si ( vec{u} = vec{AB} ) et ( vec{v} = vec{BC} ), alors ( vec{u} + vec{v} = vec{AC} ).
Base orthonormée et coordonnées
Dans un repère (O, I, J) :
- Les vecteurs de base sont ( vec{i} ) (direction de l’axe des abscisses) et ( vec{j} ) (direction de l’axe des ordonnées).
- Tout vecteur ( vec{u} ) peut s’écrire ( vec{u} = xvec{i} + yvec{j} ) où ( x ) et ( y ) sont les coordonnées du vecteur.
Exemple :
Si A(1;2) et B(4;5), alors ( vec{AB} = (4-1; 5-2) = (3; 3) ).
Norme d’un vecteur
Dans un repère orthonormé, la norme (longueur) du vecteur ( vec{u} = (x, y) ) se calcule par :
[ ||vec{u}|| = sqrt{x^2 + y^2} ]
Exemple :
Pour ( vec{u} = (3, 4) ), ( ||vec{u}|| = sqrt{3^2 + 4^2} = 5 ).
