Pour prouver que (sqrt{2}) est irrationnel (c’est-à-dire qu’il n’existe pas deux entiers p et q tels que (sqrt{2} = frac{p}{q})), on utilise un raisonnement par l’absurde :
- Supposons que (sqrt{2}) soit rationnel. Alors il existe deux entiers p et q (q ≠ 0), premiers entre eux, tels que (sqrt{2} = frac{p}{q}).
- En élevant au carré, cela donne 2 = (frac{p^2}{q^2}), donc p² = 2q².
- Donc p² est pair, ce qui implique que p est pair (car seul le carré d’un nombre pair est pair).
- On peut donc écrire p = 2k (k entier). Donc p² = 4k².
- On a alors 4k² = 2q² soit 2k² = q². Donc q² est aussi pair, donc q est pair.
- Donc p et q sont tous deux pairs, ce qui contredit le fait qu’ils étaient premiers entre eux.
Donc (sqrt{2}) n’est pas un nombre rationnel.