1. Contre-exemple
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Un contre-exemple est un exemple qui contredit une affirmation générale, et suffit à prouver qu’elle est fausse.
Exemple : « Tous les nombres premiers sont impairs. » Le nombre 2 (premier et pair) est un contre-exemple.
2. Raisonnement par disjonction de cas
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On considère tous les cas possibles séparément.
Exemple : Soit n un nombre entier. Pour montrer une propriété valable pour tous les entiers, on peut raisonner en séparant le cas où n est pair et le cas où n est impair.
3. Raisonnement par l’absurde
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Supposer que l’affirmation à démontrer est fausse et arriver à une contradiction. Si conduire à l’absurdité, l’affirmation de départ est vraie.
Exemple : Pour prouver qu’il n’y a pas de plus petit nombre positif, supposer qu’il en existe un, puis arriver à un raisonnement qui contredit la définition des entiers positifs.
Résumé : Un contre-exemple suffit à casser une généralité. On peut prouver des énoncés en traitant tous les cas (disjonction) ou par l’absurde en cherchant une contradiction.
