1. Les quantificateurs
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Pour tout : Noté ∀, signifie que la propriété est vraie pour tous les éléments possibles.
Exemple : ∀x ∈ ℕ, x ≥ 0 (Pour tout entier naturel x, x est positif ou nul).
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Il existe : Noté ∃, indique qu’il y a au moins un cas où la propriété est vraie.
Exemple : ∃x ∈ ℤ tel que x² = 4 (Il existe au moins un entier x… ici x = 2 ou x = -2).
2. Négation des propositions quantifiées
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La négation de « pour tout » est « il existe au moins un » tel que la propriété ne soit pas vraie, et inversement.
Exemple :
- Négation de « ∀x ∈ E, P(x) » : « ∃x ∈ E tel que non P(x) ».
- Négation de « ∃x ∈ E, P(x) » : « ∀x ∈ E, non P(x) ».
Exemple concret :
- « Tous les élèves ont eu la moyenne » (∀).
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Négation : « Il existe au moins un élève qui n’a pas eu la moyenne » (∃).
Résumé : Utiliser correctement les quantificateurs ∀ (pour tout) et ∃ (il existe) aide à formuler et à nier des propriétés mathématiques.
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