Considérons un triangle rectangle ABC en B, avec un angle ( alpha ) en A.
- Hypoténuse : AC
- Côté adjacent à ( alpha ) : AB
- Côté opposé à ( alpha ) : BC
Par définition :
[
cos(alpha) = frac{AB}{AC}qquad sin(alpha) = frac{BC}{AC}
]
Alors :
[
cos^2(alpha) + sin^2(alpha) = left(frac{AB}{AC}right)^2 + left(frac{BC}{AC}right)^2 = frac{AB^2 + BC^2}{AC^2}
]
Or, d’après le théorème de Pythagore : ( AB^2 + BC^2 = AC^2 )
Il vient donc :
[
cos^2(alpha) + sin^2(alpha) = frac{AC^2}{AC^2} = 1
]
Cette égalité fondamentale lie le cosinus et le sinus d’un même angle dans un triangle rectangle.
Exemple : Pour ( alpha = 30° ), on peut vérifier que ( cos^2 30° + sin^2 30° = 1 ).