Pour démontrer que (frac{1}{3}) n’est pas décimal, il suffit de remarquer que son écriture décimale est illimitée :
[ frac{1}{3} = 0,33333… ]
La suite des 3 ne s’arrête jamais. Un nombre décimal est un nombre dont l’écriture s’arrête après un nombre fini de chiffres. Donc, (frac{1}{3}) n’est pas décimal.
Raison :
Aucune fraction de la forme (frac{p}{10^n}) (c’est-à-dire dont le dénominateur est une puissance de 10) ne donne exactement (frac{1}{3}), car 3 ne divise aucune puissance de 10. Son développement est donc infini et périodique.