Cette propriété est fondamentale pour manipuler les racines carrées.
Démonstration :
Soient a et b deux réels strictement positifs.
Rappel : si x geq 0, (sqrt{x})^2 = x.
Posons A = sqrt{ab} et B = sqrt{a} times sqrt{b}.
Calculons B^2 :
B^2 = (sqrt{a} times sqrt{b})^2 = (sqrt{a})^2 times (sqrt{b})^2 = a times b
Donc :
B^2 = ab
Or, sqrt{ab} est le seul nombre positif dont le carré vaut ab, donc A = B.
Ainsi,
[sqrt{ab} = sqrt{a} times sqrt{b}]
Exemple :
Prenons a = 4 et b = 9.
sqrt{4 times 9} = sqrt{36} = 6
sqrt{4} times sqrt{9} = 2 times 3 = 6
On retrouve bien l’égalité.
