Cette inégalité montre que la racine carrée n’est pas linéaire et met en évidence une propriété classique sur les racines.
Démonstration :
Soient a et b deux réels strictement positifs.
On veut montrer que :
[sqrt{a + b} < sqrt{a} + sqrt{b}]
Plutôt que de comparer directement, on va raisonner sur les carrés des deux membres.
Calculons :
(sqrt{a} + sqrt{b})^2 = (sqrt{a})^2 + 2sqrt{a}sqrt{b} + (sqrt{b})^2 = a + 2sqrt{ab} + b = a + b + 2sqrt{ab}
La quantité sqrt{a + b}^2 = a + b.
Donc :
(sqrt{a} + sqrt{b})^2 > (sqrt{a+b})^2 dès que 2sqrt{ab} > 0, c’est-à-dire si a > 0 et b > 0.
Or, a et b sont strictement positifs, donc 2sqrt{ab} > 0.
Ainsi, (sqrt{a} + sqrt{b}) > sqrt{a + b}, donc :
[sqrt{a + b} < sqrt{a} + sqrt{b}]
Exemple :
Prenons a = 4, b = 9 :
sqrt{4+9} = sqrt{13} approx 3{,}6
sqrt{4} + sqrt{9} = 2 + 3 = 5
On a bien sqrt{13} < 5.
