Produit d’un vecteur par un réel
Soit ( vec{u} = (x, y) ) un vecteur et k un nombre réel, le produit ( k vec{u} ) est le vecteur :
[
k vec{u} = (k x, k y)
]
- Si k > 0 : L’allongement du vecteur dans le même sens.
- Si k < 0 : Le vecteur conserve la même direction mais change de sens, et sa norme est multipliée par ( |k| ).
Exemple :
( vec{u} = (2, 3) ), k = -2. Alors ( -2 cdot (2,3) = (-4, -6) ).
Colinéarité
Deux vecteurs ( vec{u} ) et ( vec{v} ) sont colinéaires s’il existe un réel k tel que ( vec{v} = k vec{u} ).
Autrement dit, ils ont la même direction (parallèles).
Exemple :
( vec{u} = (2, 4) ) et ( vec{v} = (3, 6) ) sont colinéaires car ( vec{v} = 1.5 vec{u} ).
Critère par les coordonnées
Deux vecteurs ( (x, y) ) et ( (x’, y’) ) sont colinéaires si ( x times y’ – y times x’ = 0 ) (leur déterminant est nul).
Application
La colinéarité permet de montrer l’alignement de points, le parallélisme entre des droites, etc.